数学の抽象化が進む

サンプル用のユーザです。

独断と偏見で、現代社会に至る、主要な歴史の流れを整理してみたいと思います。
あまりにも歴史を把握していないので、一回自分で整理しておかないとマズイな、というのが作成の動機で、主に高校参考書とwikipediaを参照して整理しています。

まだ着手して間もないのであっちこっちスカスカですが、ジワジワと埋めていきたいと思っています。

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数学の抽象化が進む LV1 2019/11/22

（まとめ：19世紀）
-ガウス：複素解析学、幾何学、および級数の収束について革新的な業績、代数学の基本定理と平方剰余の相互法則に、最初の満足できる証明
-ハミルトン：非可換代数の概念を発展
-ブール：ブール論理
-コーシー、ワイエルシュトラス、リーマン：微分積分学のより強固な基礎理論
-アーベルとガロア：五次以上の代数方程式には一般的な代数的解法が無いことを証明
-アーベルとガロア：多項式解法の研究で、群論および抽象代数学の関連分野の更なる発展の土台を築く
-カントール：集合論

（まとめ：20世紀）
-ヒルベルト：ヒルベルトの23の問題を提示
-ゲーデル：2つのゲーデルの不完全性定理を発表
-ワイルズ：フェルマーの最終定理を証明
-数理論理学、位相幾何学、カオス理論、ゲーム理論のような全く新しい数学の分野が発展

（wikipedia：「数学史>19世紀」より）
-19世紀は最高の数学者の一人と数えられるカール・フリードリヒ・ガウス（1777年-1855年）の時代でもある。自然科学への多数の貢献を別にしても、純粋数学において彼は複素解析学、幾何学、および級数の収束について革新的な業績を残した。彼は代数学の基本定理と平方剰余の相互法則に、最初の満足できる証明を与えた。
-19世紀はまた、新たな抽象代数学の始まりの時代でもあった。ウィリアム・ローワン・ハミルトンによって非可換代数の概念が発展させられたし、一方でイギリスの数学者ジョージ・ブールによってブール論理が開発された。ブール論理は0と1の二つの数からなる体系であり、今日の計算機科学において重要な応用を持っている。
-数学における新たな傾向に加えて、過去の数学、特に微分積分学について、オーギュスタン＝ルイ・コーシーとカール・ワイエルシュトラス、ベルンハルト・リーマンらによってより強固な基礎理論が与えられた。
-また、数学の限界が初めて探求された。ノルウェー人のニールス・アーベルとフランス人のエヴァリスト・ガロアは、五次以上の代数方程式には一般的な代数的解法が無いことを証明した。
-アーベルとガロアによる様々な多項式解法の研究は、群論および抽象代数学の関連分野の更なる発展の土台を築いた。
-19世紀の終わりに向かって、ゲオルク・カントールは集合論を確立し、異なる数学分野での共通言語をあたえた。

（wikipedia：「数学史>20世紀」より）
-1900年に、ダフィット・ヒルベルトは国際数学者会議においてヒルベルトの23の問題を提示した。この問題は、数学の多くの領域にまたがり、20世紀の数学の多くに対する関心の的となった。今日、10の問題が解決され、7つが部分的に解決され、2つが未解決である。残る4つについては定式化が曖昧なため解決か未解決かを述べることは不可能である。
-1931年に、クルト・ゲーデルは、数理論理学における形式的体系の限界を述べる2つのゲーデルの不完全性定理を発表した。
-アンドリュー・ワイルズは数年にわたる独力の研究で、1995年にフェルマーの最終定理を証明した。
-数理論理学、位相幾何学、カオス理論、ゲーム理論のような全く新しい数学の分野が、数学的手法で回答できる質問の種類を変化させた。20世紀の終わりまでに、数学は芸術の域にさえ達した。フラクタル幾何は、それまで見たことのないような美しいフラクタルアートを与える。

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none 12月24日

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